私は、パートだから、雇用保険はなくて当たり前
と、あきらめていませんか?

パートだからと言って、雇用保険に加入できないことはありません。
週20時間以上働いている場合、パート労働者も雇用保険の被保険者になりますので、使用者は雇用保険加入の手続きをしなければなりません。

雇用保険は法律(雇用保険法)によって、強制的に加入が義務付けられている保険です。
会社(個人経営でも同じ)は、一人でも雇用保険の対象となる労働者を雇っていれば、雇用保険に入らなければなりません。
労働者から保険料を徴収し、会社負担分と合わせて国に納めることは、事業主の義務です。

あなたが週20時間以上働いているのに、事業主が雇用保険の加入手続きをしていないのは、その義務を怠っていることになります。
その義務を怠ることは「6か月の懲役又は30万円以下の罰金」となります。

パートタイム労働者でも、週の労働時間が20時間以上で、1年以上の雇用が見込まれていたら加入対象になります。
実際に、1年を超えて働いている方は、例え、給料から保険料を天引きされてこなかったとしても、退職する際には、雇用保険(失業給付の基本手当)を受給することができます。

また、週30時間以上働いているパートタイム労働者については、事業主は、正職員と同様に取り扱わなければなりません。

もし、あなたが離職前であれば、会社に雇用保険に加入するよう要求してみましょう。
会社があなたの要求を拒否した場合や、すでに退職している人で受けられる可能性のある方は、職業安定所の窓口で事情を説明し、給付を申請しましょう。

ただし、受給できる期間は1年以内ですので、退職して長い期間が経過している方は、受けられないか、本来受けられるはずの受給期間が、短縮される場合があります。

雇用保険の保険料をさかのぼって納めることができる期間は、2年となっています。
保険料を徴収して国に納める義務を負うのは、事業主ですのでハローワークが直接労働者に保険料を請求することはありません。